有限数学例

${(x + 2)}^{3} = x^{2} + 8$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

${(x + 2)}^{3} - x^{2} = 8$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

二項定理を利用します。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.1.2.4

$2$ を $3$ 乗します。

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 2.2

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} + 0 = 0$

ステップ 2.2.2

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} = 0$

ステップ 2.3

$6 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{3} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

ステップ 3

$x$ を $x^{3} + 5 x^{2} + 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

ステップ 3.2

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + 12 x = 0$

ステップ 3.3

$x$ を $12 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 12 = 0$

ステップ 3.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12 = 0$

ステップ 3.5

$x$ を $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$x^{2} + 5 x + 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x^{2} + 5 x + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{2} + 5 x + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 5$ 、および $c = 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.4.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.5.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 7

最終解は $x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

有限数学 例

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